Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r₁，r₂，⊙O₂经过⊙O₁的圆心O₁，且两圆相交于A，B两点，C为⊙O₂上的点，连接AC交⊙O₁于D点，再连接BC，BD，AO₁，AO₂，O₁O₂，有如下四个结论：①∠BDC=∠AO₁O₂；②；③AD=DC； ④BC=DC．其中正确结论的序号为    ．

Answer

①延长O2O1交圆O1于M，连接AB、AM、BM、O2B，根据相交两圆的性质推出O2O1是AB的垂直平分线，得出∠AO1O2=∠AO1B=∠AMB，根据圆内接四边形的性质得出∠AMB=∠BDC，即可判断；②证△BDC∽△AO1O2即可；③无法证出BD=DC，即可判断③；④由△BDC∽△AO1O2，得出∠O2AO1=∠DBC，∠BDC=∠AO1O2，根据等腰三角形的性质得出∠BDC=∠CBD即可．
【解析】
延长O2O1交圆O1于M，连接AB、AM、BM、O2B，
∵圆O1与圆O2交于A、B，
∴O2O1是AB的垂直平分线，
∵O1A=O1B，
∴∠AO1O2=∠AO1B=∠AMB，
∵四边形AMBD是圆O1的内接四边形，
∴∠AMB=∠BDC，
∴①正确；
∵O1A=O1B，
∴∠C=∠AO2B=∠AO2M，∠AO1O2=∠AMB，
∴△BDC∽△AO1O2，
∴=，
∴②正确；
∵△BDC∽△AO1O2，
∴∠O2AO1=∠DBC，∠BDC=∠AO1O2，
∵O2A=O2B，
∴∠AO1O2=∠O2AO1，
∴∠DBC=∠BDC，
∴DC=BC，∴④正确；
无法证出∠C=∠DBC，
即BD≠DC，
∵AD=BD，
∴③错误．
故答案为：①②④．