Question

已知k、a都是正整数，2004k+a、2004（k+1）+a都是完全平方数．
（1）请问这样的有序正整数（k，a）共有多少组？
（2）试指出a的最小值，并说明理由．

Answer

（1）由于2004k+a、2004（k+1）+a都是完全平方数，根据完全平方数的定义可设2004k+a=m2①，2004（k+1）+a=n2②，（这里m、n都是正整数），将②-①，得n2-m2=2004，即（n+m）（n-m）=2×2×3×167，由于m+n与n-m的奇偶性相同，可得关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值，再根据k、a都是正整数，即可确定满足条件的（k，a）的组数．
（2）由（1）知，a是k的一次函数，根据一次函数的增减性，并结合k的取值范围，即可求出a的最小值．
【解析】
（1）设2004k+a=m2，①
2004（k+1）+a=n2，②
这里m、n都是正整数，则n2-m2=2004．
故（n+m）（n-m）=2004=2×2×3×167．
注意到，m+n、n-m的奇偶性相同，则
解得
当n=502，m=500时，由式①得2004k+a=250000．
即：a=250000-2004k  ③．∵k、a都是正整数，
∴k＞0，250000-2004k＞0，
解得：0＜k＜124.75…．      
∴k可以取值1，2，…，124，相应得满足要求的正整数数组（k，a）共124组．
当n=170，m=164时，由式①得2004k+a=26896．
即a=26896-2004k  ④．
∵k、a都是正整数，
∴k＞0，26896-2004k＞0，
解得：0＜k＜13.42…．      
∴k可以取值1，2，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k，a）共13组．
从而，满足要求的正整数数组（k，a）共有：124+13=137（组）．
故这样的有序正整数（k，a）共有137组；

（2）由③、④可知a是k的一次函数，且a随k的增大而减小，
即当k取最大值时，a有最小值．
对于③，当k=124时，a=1504，
对于④，当k=13时，a=844．
故a的最小值应为844．