Question

已知Rt△ABC和Rt△ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC、BD的中点，且M、N不重合，请你画出图形后回答，线段MN与BD是否垂直？并请说明理由．若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=8cm，求MN的长．

Answer

根据题意画出图形后可知本题有两种情况，即B、D在线段AC的同侧和B、D在线段AC的异侧．
【解析】
如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
则可知在Rt△BEM中∠EMB=30°，
∵AC=8，∴BM=4，
∴BE=2，EM=2，MD=4，
从而可知BD=，
∴MN=cm，

如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，在Rt△BED中，可知∠EDB=60°，
令ED=x，则BE=x，AD=4，AB=4，
∴可得：，
解得，
∴MN==（+）cm．