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二次函数y=manfen5.com 满分网x2的图象如图所示,过y轴上一点M(0,2)的直线与抛物线交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D.
(1)当点A的横坐标为-2时,求点B的坐标;
(2)在(1)的情况下,分别过点A,B作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,在EF上是否存在点P,使∠APB为直角?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点A在抛物线上运动时(点A与点O不重合),求AC•BD的值.

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(1)已知二次函数解析式,及A点横坐标-2,可求A点纵坐标,故MC=2-=,设点B的坐标为(x,x2),由Rt△BDM∽Rt△ACM,得相似比,可求x的值,确定B点坐标; (2)若∠APB=90°,利用互余关系可得出△AEP∽△PFB,设EP=a,则PF=10-a,而AE=,BF=8,利用相似比可求A,可得P的坐标; (3)依题意设A(m,m2),B(n,n2),且m<0,n>0,由Rt△BDM∽Rt△ACM,类似(1),用含m,n的式子表示相关线段的长,利用相似比得出m,n的关系式,此时AC•BD=-mn. 【解析】 (1)根据题意,设点B的坐标为(x,x2),其中x>0. ∵点A的横坐标为-2, ∴A(-2,).(2分) ∵AC⊥y轴,BD⊥y轴,M(0,2), ∴AC∥BD,MC=,MD=x2-2. ∴Rt△BDM∽Rt△ACM. ∴. 即. 解得x1=-2(舍去),x2=8. ∴B(8,8).(5分) (2)存在.(6分) 连接AP,BP, 由(1),AE=,BF=8,EF=10. 设EP=a,则PF=10-a. ∵AE⊥x轴,BF⊥x轴,∠APB=90°, ∴△AEP∽△PFB. ∴, ∴. 解得a=5±. 经检验a=5±均为原方程的解, ∴点P的坐标为(3+,0)或(3-,0).(8分) (3)根据题意,设A(m,m2),B(n,n2),不妨设m<0,n>0. 由(1)知, 则或. 化简,得(mn+16)(m-n)=0. ∵m-n≠0, ∴mn=-16. ∴AC•BD=16.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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