Question

如图，△ABC中，AB=BC=10，点M、N在BC上，使得MN=AM=4，∠MAC=∠BAN，则△ABC的面积是    ．

Answer

首先由等腰三角形的性质求得∠BAC=∠C，又由∠MAC=∠BAN与MN=AM，求得：∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°，然后过B作BG⊥AM于G，过C作CH⊥AM于H，由三角函数的性质与余弦定理求得BG，BM，CM与CH的长，则由S△ABC=•AM•（BG+CH），即可求得△ABC的面积．
【解析】
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
又∵∠MAC=∠BAN，
∴2∠MAC+∠NAM=∠C，
又∵MN=AM，
∴∠NAM=∠ANM，
又∵∠AMN=∠MAC+∠C∠AMN=180°-2∠NAM，
即∠MAC+∠C=180°-2∠NAM，∠MAC+2∠MAC+∠NAM=180°-2∠NAM，
∴∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°，
过B作BG⊥AM于G，过C作CH⊥AM于H，
在Rt△ABG中，AB=10，∠BAG=60°，
∴BG=5，
根据余弦定理可求得：BM=2，CM=10-2，
∴，
∴CH=，
∴S△ABC=•AM•（BG+CH）=×4×[5+]=．
故答案为：．