Question

△ABC中，∠C=3∠A，AB=10，BC=8，则AC的长是    ．

Answer

首先由∠C=3∠A，可求得sinC=sin3A=3sinA-4sin3A，又由正弦定理得：=，则可求得sinA的值，再由sinB=sin（A+C），求得sinB的值，再根据，即可求得AC的值．
【解析】
∵∠C=3∠A，
∴sinC=sin3A=3sinA-4sin3A，
由正弦定理得：=，
∴sinC=
∴3sinA-4sin3A=sinA，
∵sinA≠0，
∴3-4sin2A==，
∴sin2A=，
∴sinA=．
∴cosA==．
∵sinB=sin（A+C）=sin4A=sin2×2A=2sin2Acos2A=4sinAcosA（2cos2A-1）=4×××[2×（）2-1]=（）××，
∴sinB=．再
∵，
∴AC==8×÷3，
∴AC=3．
故答案为：3．