Question

m，n均为正整数，若关于x的方程4x²-2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2，求m，n的值．

Answer

首先设f（x）=4x2-2mx+n，由关于x的方程4x2-2mx+n=0有两个实数根，可得判别式△＞0，又由此二次函数的开口向上，关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2，可得f（1）＞0，f（2）＞0，然后设方程4x2-2mx+n=0两根为x1，x2，根据韦达定理，可得x1+x2=，x1x2=，则可求得4＜m＜8，4＜n＜16，由m，n均为正整数，利用分类讨论的方法，即可求得m，n的值．
【解析】
设f（x）=4x2-2mx+n，
∵关于x的方程4x2-2mx+n=0有两个实数根，
∴△=（2m）2-16n≥0，
∴m2≥4n，
∵此二次函数的开口向上，关于x的方程4x2-2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2（如草图），
∴f（1）=4-2m+n＞0，f（2）=16-4m+n＞0，
设方程4x2-2mx+n=0两根为x1，x2，
由韦达定理知：x1+x2=，x1x2=，
∵x1，x2都大于1，且小于2，
∴2＜＜4，1＜＜4，
∴4＜m＜8，4＜n＜16，
∵m，n均为正整数，
∴（1）当m=5，由m2-4n≥0，得n=5或6，但均不满足4-2m+n＞0，
∴m≠5；
（2）当m=6，由m2-4n＞0得n=5，6，7，8，9，
∵n，5，6，7，8不满足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，
∴n=9；
（3）当m=7，由m2-4n≥0得n=5，6，7，8，9，10，11，12．
∵n=5，6，7，8，9，10，11，12不满足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，
∴此时无解；
∴m=6，n=9．