Question

已知x、y、z都是实数，且x²+y²+z²=1，则m=xy+yz+zx（ ）
A．只有最大值
B．只有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值

Answer

先用配方法化成m=[（x+y+z）2-（x2+y2+z2）]=[（x+y+z）2-1]的形式，即可得出最小值，再根据x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，x2+z2≥2xz，三式相加可得最大值．
【解析】
∵（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，
∴m=[（x+y+z）2-（x2+y2+z2）]=[（x+y+z）2-1]≥-，
即m有最小值，
而x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，x2+z2≥2xz，
三式相加得：2（x2+y2+z2）≥2（xy+yz+xz），
∴m≤x2+y2+z2=1，即m有最大值1．
故选C．