Question

已知方程x²+a₁x+a₂a₃=0与方程x²+a₂x+a_la₃=0有且只有一个公共根．
求证：这两个方程的另两个根（除公共根外）是方程x²+a₃x+a₁a₂=0的根．

Answer

设方程x2+a1x+a2a3=0的两根为α、β，方程x2+a2x+ala3=0的两根为α、γ，其中α为两方程的公共根，根据一元二次方程根与系数的关系得到a1+β=-a1，a1β=a2a3，a1γ=a1a3，然后解得β=a1，γ=a1，a1+a2+a3=0，若β、γ是方程x2+a3x+a1a2=0的根，则两根代入，证明两根代入后方程为0．
证明：设方程x2+a1x+a2a3=0的两根为α、β，
方程x2+a2x+ala3=0的两根为α、γ，其中α为两方程的公共根，
则α2+a1α+a2a3=0…①，α2+a2α+ala3=0…②，
①-②得（a1-a2）α+a3（a2-a1）=0，
因为两个方程只有一个公共根，a1≠a2，解得α=a1，
有一元二次方程根与系数的关系得：a3+β=-a1，a3β=a2a3，a3γ=a1a3，
所以β=a1，γ=a1，a1+a2+a3=0，
∵β2+a3β+a1a2=a22+a3•a2+a1a2=a2（a1+a2+a3）=0，
γ2+a3γ+a1a2=a12+a3•a1+a1a2=a1（a1+a2+a3）=0，
所以β、γ是方程x2+a3x+a1a2=0的两根．