Question

如圆，AB是⊙O的直径，直线PQ过⊙O上的点C，PQ是⊙O的切线．
（1）求证：∠BCP=∠A；
（2）如果AB是⊙O的弦（不是直径），这个结论还成立吗？试说明．

Answer

（1）连接OC，满足切线的性质定理．再根据直径所对的边是直角就可以证出结论．
（2）这个结论还成立；过C点作直径CD，连接BD，则∠A=∠D，再由PQ是⊙O的切线∠DCB+∠BCP=90°，∠BCP=∠A．
（1）证明：连接OC   （1分）
PQ是⊙O的切线
∴OC⊥PQ
∴∠OCB+∠BCP=90°（2分）
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB    （3分）
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠OBC+∠A=90°
∴∠BCD=∠A    （4分）

（2）【解析】
如果AB是⊙O的弦（不是直径），这个结论还成立（5分）
理由为：过C点作直径CD，连接BD，则∠A=∠D，∠DBC=90°
∴∠D+∠DCB=90°（6分）
∵PQ是⊙O的切线
∴OC⊥PQ
∴∠DCB+∠BCP=90°（7分）
∴∠BCP=∠D
∴∠BCP=∠A    （8分）