Question

（1）已知：如图①，△AOB和△COD都是等边三角形．
求证：（1）①AC=BD，②∠APB=60°；
（2）如图②，△AOB和△COD都是等腰三角形，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为______，∠APB的大小为______；
（3）如图③，在△AOB与△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为______，∠APB的大小为______．

注：第（2）、（3）小题请将答案直接写在题中横线上．

Answer

（1）分析结论AC=BD可知，需要证明△AOC≌△BOD，围绕这个目标找全等的条件，由△AOB和△COD都是等边三角形，可得OA=OB，OD=OC，且∠AOB=∠COD=60°等号两边同时加上∠BOC，可得∠AOC=∠BOD，然后利用SAS可得△AOC≌△BOD，根据全等三角形的对应边相等得证；
（2）与图①比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明△AOC≌△BOD，方法类似；
（3）由∠AOB=∠COD可得∠AOC=∠BOD，再由OA=k•OB，OC=k•OD，可得两边对应成比例，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得△AOC∽△BOD，根据相似三角形的对应边成比例可得AC=k•BD，同时根据相似三角形的对应角相等可得∠ACO=∠BDO，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理可得∠DPC=∠COD=α，最后根据邻补角定义可表示出∠APB的度数．
【解析】
（1）①又∵△AOB和△COD都为等边三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，OA=OB，OC=OD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
②由△AOC≌△BOD，得∠OAC=∠OBD，
又∠AEO=∠PEB，∠APB=180°-（∠BEP+∠OBD），
∠AOB=180°-（∠OAC+∠AEO），
∴∠APB=∠AOB=60°； 

（2）∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
又∵△AOB和△COD都为等腰三角形，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
由△AOC≌△BOD，得∠OAC=∠OBD，
又∠AEO=∠PEB，∠APB=180°-（∠BEP+∠OBD），
∠AOB=180°-（∠OAC+∠AEO），
∴∠APB=∠AOB=α；   

（3）∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
又OA=k•OB，OC=k•OD，
∴，
∴△OAC∽△OBD，
∴，即AC=k•BD
∴∠ACO=∠BDO，
又∠OED=∠PEC，
∴∠DPC=∠COD=α，
则∠APB=180°-α．
故答案为：（2）AC=BD，α；（3）AC=k•BD，180°-α