Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），点B在x轴的正半轴上，点M在y轴的负半轴上，且|AB|=6，cos∠OBM=，点C是M关于x轴的对称点．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的函数表达式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，在线段OB的垂直平分线上求一点P，使点P到直线CD的距离等于点P到原点的O距离；
（3）在直线CD上方（1）中的抛物线（不包括C、D）上是否存在点N，使四边形NCOD的面积最大？若存在，求出点N的坐标及该四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用图象上点的坐标，运用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据假设存在满足条件的点P，依题意，设P（2，t），得出点P到CD的距离PF=|10-t|，再利用PO==，求出t即可；
（3）根据过点N作直线NQ∥x轴交CD于点Q，设N（k，-k2+2k+8），得出Q点的坐标，表示出QN长度，进而得出S△CND=S△NQD+S△NQC，又S四边形NCOD=S△CND+S△COD，得出当k=时，四边形面积的最大．
 【解析】
（1）易知A（-2，0），B（4，0），C（0，8）．
设抛物线的函数表达式为y=a（x+2）（x-4）．
将C（0，8）代入，得a=-1．
∴过A、B、C三点的抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+8．
y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，
∴顶点为D（1，9）．

（2）如图1，假设存在满足条件的点P，依题意，设P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）得直线CD的函数表达式为：y=x+8．
设直线CD交x轴于点E，则E（-8，0）．
∴CO=8=OE，∴∠DEO=45°．
设OB的中垂线交CD于H，交x轴于点G．
∴在Rt△HPF中，∠FHP=45°=∠HPF．
点P到CD的距离PF=|10-t|．
又PO==．
∵PF=PO，
∴=|10-t|．
化简，得t2+20t-92=0，
解得t=-10±．
∴存在点P1（2，-10+），P2（2，-10-）满足条件．

（3）如图2，过点N作直线NQ∥x轴交CD于点Q．设N（k，-k2+2k+8）．
∵直线CD的函数表达式为y=x+8，
∴Q（-k2+2k，-k2+2k+8）．
∴QN=|-k2+2k-k|=-k2+k．
S△CND=S△NQD+S△NQC
=NQ•|yD-yQ|+NQ•|yQ-yC|
=（-k2+k）•|9-（-k2+2k+8）|+（-k2+k）•|-k2+2k+8-8|
=（-k2+k）（9+k2-2k-8-k2+2k）
=（-k2+k）．
而S四边形NCOD=S△CND+S△COD
=（-k2+k）+CO•|xD|
=（-k2+k）+ 8×1
=-k2+k+4
=-（k-）2+．
∴当k=时，四边形面积的最大为，
此时N（k，-k2+2k+8）点坐标为：（，）．