Question

阅读：D为△ABC中BC边上一点，连接AD，E为AD上一点．
如图1，当D为BC边的中点时，有S_△EBD=S_△ECD，S_△ABE=S_△ACE；
当时，有．
解决问题：
在△ABC中，D为BC边的中点，P为AB边上的任意一点，CP交AD于点E、设△EDC的面积为S₁，△APE的面积为S₂．
（1）如图2，当时，的值为______；
（2）如图3，当时，的值为______；
（3）若S_△ABC=24，S₂=2，则的值为______．

Answer

（1）由已知得，P为AB的中点，根据三角形三条中线交于一点的性质，对面积进行转化；
（2）由于AD为中线，可知，∴S△EBD=S△ECD，S△ABE=S△ACE，根据“等高的两个三角形面积比等于底边的比”，列出等式求；
（3）充分运用（2）的结论，已知条件，列方程组求n，即的值．
【解析】
如图：
（1）连接BE，延长交AC于F．
∵D为BC中点，∴S△EBD=S△ECD，S△ABE=S△ACE，
∵P为AB上的一点，且，
∴F为AC的中点（三角形三条中线交于一点）．
∴S△AEP=S△BEP，S△AEF=S△CEF，S△ABF=S△CBF，
∵S△ABF=S△AEP+S△BEP+S△AEF=2S△AEP+S△AEF=S△EBD+S△ECD+S△CEF=2S△ECD+S△CEF∴S△AEP=S△ECD，∴=1．

（2）当时，S△BPE=nS△APE=nS2，
S△BEC=2S1，S△AEC=S△AEB=（n+1）S2，
由S△BPC=nS△APC，得
2S1+nS2=n（S2+S2+nS2）
解得：=；

（3）当S△ABC=24，S2=2，
由（2）的结论可知，，
解得n=2或-5（舍去负值）．
∴=2．