Question

已知关于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的两实数根为x₁，x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若m＞0，设y=x₁+x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

Answer

（1）由于关于x的一元二次方程mx2=2（1-m）x-m的两实数根为x1，x2，所以二次项系数m≠0，并且方程的判别式△≥0，由此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．
【解析】
（1）∵关于x的一元二次方程mx2=2（1-m）x-m的两实数根为x1，x2，
∴m≠0，且△=b2-4ac=[-2（1-m）]2-4m2=4（1-2m）≥0，
1-2m≥0，
∴m≤且m≠0；

（2）∵x1，x2为mx2=2（1-m）x-m的两根，
∴y=x1+x2==-2，
又∵0＜m≤；
∴y随m的增大而减小，
∴当m=时，y取最小值，此时y=4-2=2．