Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若c=0，则方程必有一根为0；②若a+c=0，则方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；③当（a+c）²≤b²时，关于x的方程ax²+bx+c=0必有实根；④若b²-5ac＞0时，则方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等实根．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④
B．只有①②
C．只有①②③
D．只有②④

Answer

①根据此时c=0，根的判别式△=b2≥0，即可作出判断；
②根据此时a+c=0，根的判别式，即可作出判断；
③根据当（a+c）2≤b2时，将b2=（a+c）2代入即可得出判别式的值的符号，即可得出答案；
④根据若b2-5ac＞0，即可得出△=b2-4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根．
【解析】
①∵c=0，
∴△=b2≥0，
∴若c=0，则方程必有一根为0；故此选项正确；

②因为a+c=0，a≠0，所以①a、c异号，所以△=b2-4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根；故此选项正确；

③∵（a+c）2≤b2，
∴当b2=（a+c）2时，
△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，
∴当（a+c）2≤b2时，关于x的方程ax2+bx+c=0必有实根；故此选项正确；

④当b2-5ac＞0，
∵b2≥0，b2＞5ac，
∴△=b2-4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实根．
所以①②③④成立．
故选A．