Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDF，其中D、G分别为斜边AB、EF的中点，连CE，又M为BC中点，N为CE的中点，连MN、MG
（1）如图1，当DE恰好过M点时，求证：∠NMG=45°，且MG=MN
（2）如图2，当等腰Rt△EDF绕D点旋转一定的度数时，第（1）问中的结论是否仍成立，并证明．
（3）如图3，连BF，已知P为BF的中点，连CF与PN，直接写出=______

Answer

（1）连接NG、CF，由题意可得CE=CF，易证MCGE四点共圆，即MN=NG，根据圆周角和圆心角的关系，可得∠MNG=90，即可证得；
（2）连接CF，CD，BE，NG，易证△BDE≌△CDF，则BE=CF，根据三角形中位线的性质，可得MN=NG，∠GNC+∠MNC=90°，即△MNG是等腰直角三角形，即可证得；
（3）连接PD，DM，PD为三角形ABF中位线，PD平行AF，PD=AF，在三角形ABC中，DM为中位线，DM=AC，MN=BE=CF，D，M，N共线，DN=（BC+CF），BC=AC，DP=DN，三角形DPN是等腰直角三角形，PN/CF===（+1）．
【解析】
（1）连接CF、NG，如图，
∴D、C、G三点共线，
∴CE=CF，DE⊥BC，
∵MN是直角三角形CME斜边上的中线，
∴MN=CE，
又∵NG是三角形CEF的中位线，
∴NG=CF，
∴NG=NM；
∴MCGE四点共圆，又∠MEG=45°，
∴∠MNG=90，即三角形MNG为等腰直角三角形，
∴∠NMG=∠NGM=45，MG=MN．

（2）连接CF，CD，BE，NG，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，CD是底边中线，
∴CD⊥AB，∠ADC=90°，又∠EDF=90°，∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE=CF，∠BED=∠DFC，
∵在△CBE中，MN是中线，
∴∠MNC=∠BEC，MN=BE，
延长EC交DF于P，
∵在△ECF中，GN是中线，
∴GN=CF，∠CNG=∠PCF，
∴∠MNC+∠CNG=∠BEC+∠PCF，
=（∠BED+∠DEP）+（∠DPE-∠PFC），
=∠DFC+∠DEP+∠DPE-∠DFC，
=∠DEP+∠DPE，
∵Rt△EDF中，∠EDF=90°，
∴∠DEP+∠DPE=180°-90°=90°，
∴∠MNG=90°，
∴△MNG是直角三角形，
又∵BE=CF，
∴MN=NG，
∴△MNG是等腰直角三角形，
∴∠NMG=∠NGM=45°，MG=MN；

（3）．