Question

在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D
（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标为______
（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD，P是线段BD上（不与B、D重合）的一点，在BD上截取PG=，过G作GF⊥BD，交BC于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；
（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论．

Answer

（1）先根据y=2x+4确定A点与D点坐标，然后把AD绕点A顺时针（或逆时针）旋转90°，即把Rt△ADO绕点A顺时针（或逆时针）旋转90°，点D的对应点为点M，利用三角形全等易确定M的坐标；
（2）过A作AH⊥DB，先计算出AD=2，利用正方形的性质得到BD=2•=2，AH=DH=BD=，由PG=得DP+BG=，则PH=BG，易证Rt△APH≌Rt△PFG，即可得到AP=PF且AP⊥PF；
（3）把△AGB绕A点逆时针旋转90°得到△AMD，利用旋转的性质得到∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，AM=AG，则∠MDP=90°，根据勾股定理有DP2+BG2=PM2；由∠PAG=45°，则∠DAP+∠BAG=45°，得到∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，易证得△AMP≌△AGP，得到MP=PG，即有DP2+BG2=PG2．
【解析】
（1）M（-6，2）或（2，-2）；

（2）AP=PF且AP⊥PF．理由如下：
过A作AH⊥DB，如图，
∵A（-2，0），D（0，4），
∴AD==2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD=2•=2，
∴AH=DH=BD=，
而PG=，
∴DP+BG=，
而DH=DP+PH=，
∴PH=BG，
∵∠GBF=45°，
∴BG=GF，
∴Rt△APH≌Rt△PFG，
∴AP=PF，∠PAH=∠FPG，
∴∠APH+∠GPF=90°，即AP⊥PF．

（3）DP2+BG2=PG2．理由如下：
把△AGB绕A点逆时针旋转90°得到△AMD，连MP，如图，
∴∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，
∴∠MDP=90°，
∴DP2+BG2=PM2；
又∵∠PAG=45°，
∴∠DAP+∠BAG=45°，
∴∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，
而AM=AG，
∴△AMP≌△AGP，
∴MP=PG，
∴DP2+BG2=PG2．