Question

如图，P是抛物线y=2（x-2）²对称轴上的一个动点，直线x=t平行y轴，分别与y=x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=    ．

Answer

依题意，y=2x2-8x+8，设A（t，t），B（t，2t2-8t+8），则AB=|t-（2t2-8t+8）|=|2t2-9t+8|，当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PAB=90°，PA=AB=|t-2|；当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，PB=AB=|t-2|；分别列方程求k的值．
【解析】
∵y=2（x-2）2
∴y=2x2-8x+8，
∵直线x=t分别与直线y=x、抛物线y=2x2-8x+8交于点A、B两点，
∴设A（t，t），B（t，2t2-8t+8），AB=|t-（2t2-8t+8）|=|2t2-9t+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB=90°，此时PA=AB=|t-2|，
即|2t2-9t+8|=|t-2|，
∴2t2-9t+8=t-2，或2t2-9t+8=2-t，
解得t=或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，此时PB=AB=|t-2|，结果同上．
故答案为：或1或3．