Question

操作：在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板自两直角边分别交射线AC、射线CB于D、E两点，如右图，①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．

探究：（1）三角板绕P点旋转时，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？它们的关系表示为______并以图②为例，加以证明；
（2）三角板绕P点旋转时△PBE是否能成为等腰三角形，若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

Answer

（1）先根据图形可猜测PD=PE，从而连接CP，通过证明△PCD≌△PEB，可得出结论．
（2）题目只要求是等腰三角形，所以需要分三种情况进行讨论，这样每一种情况下的CE的长也就不难得出．
【解析】
（1）相等关系，PD=PE．

证明如下，AC=BC，∠C=90°，P为AB中点，连接CP，
∴CP平分∠C，CP⊥AB，
∵∠PCB=∠B=45°，
∴CP=PB，
∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠DPC=∠EPB，
在△PDC和△PEB中，，
∴△PCD≌△PEB（ASA），
∴PD=PE．

（2）△PEB能成为等腰三角形，有以下三种情况：
①当CE=0，此时E和C重合，有PE=PB，△PBE为等腰直角三角形．
②当CE=2时，此时E是BC中点，有PE=EB，△PBE为等腰直角三角形，
③当CE=8时，此时E在CB的延长线上，有BE=BP=4，△PBE顶角为135°的等腰三角形．