Question

如图，一次函数y=ax+b与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，EF．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正确的结论个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S△DFE=|xD|•|yD|=k，同理可求得△CEF的面积也是 k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．
【解析】
设点D的坐标为（x，），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S△DFE=DF•OF=|xD|•||=k，
同理可得S△CEF=k，
故S△DEF=S△CEF．
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．
①由上面的解题过程可知：①正确；
②∵CD∥EF，即AB∥EF，∴△AOB∽△FOE，故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S△DEF=S△BED，
同理可得S△ACF=S△ECF；
由①得：S△DBE=S△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，④正确；
法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，
而且EF是公共边，
即AC=EF=BD，
∴BD=AC，④正确；
因此正确的结论有3个：①②④．
故选C．