Question

如图，P是抛物线 y₂=x²-6x+9对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y₂交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=    ．

Answer

依题意，设A（t，t），B（t，t2-6t+9），则AB=|t-（t2-6t+9）|=|t2-7t+9|，当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PAB=90°，PA=AB=|t+1|；当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，PB=AB=|t+1|；分别列方程求k的值．
【解析】
∵直线x=t分别与直线y=x、抛物线y=x2-6x+9交于点A、B两点，
∴A（t，t），B（t，t2-6t+9），AB=|t-（t2-6t+9）|=|t2-7t+9|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB=90°，此时PA=AB=|t+1|，
即|t2-7t+9|=|t+1|，
∴t2-7t+9=t+1或t2-7t+9=-t-1，
解得t=4±2；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，此时PB=AB=|t+1|，结果同上．
故答案为：4±2．