Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer

此题文字比较多，而且图象也比较复杂，所以解题时需要理解题意．
（1）可以采用待定系数法求二次函数的解析式，因为点A（-1，0）、C（0，-）在函数图象上，对称轴为x=1，也可求得A的对称点B的坐标为（3，0），列方程组即可求得解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可求得点F的坐标为，再求得点P的纵坐标为，可得线段PF的长；
（3）利用面积和，△PBC的面积即可求得．
【解析】
（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
由抛物线的对称性知B点坐标为（3，0），
依题意得：，（1分）
解得：，（2分）
∴所求二次函数的解析式为；（3分）

（2）∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为，（4分）
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
依题意，得，
∴，
故直线BC的解析式为，（5分）
∴点F的坐标为，
∴；（6分）

（3）∵△PBC的面积=，
∴当时，△PBC的最大面积为，（8分）
把代入，
得，
∴点P的坐标为．（10分）