Question

如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD，连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N，OB=6cm，OC=8cm．
（1）求∠BOC的度数及⊙O的半径．
（2）请证明MN是⊙O的切线，并求MN的长．

Answer

（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，然后利用勾股定理计算出BC，再利用等积法计算出OF；
（2）由MN∥OB，而OB⊥OC，得到MN⊥OM，根据切线的判定即可得到MN为⊙O的切线；易证Rt△CMN和Rt△COB相似，利用相似比即可计算出MN的长．
【解析】
（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，OB=6，OC=8，
∴BC===10，
又∵OF•BC=OB•OC，
∴OF==4.8（cm）；

（2）证明：如图，
∵MN∥OB，OB⊥OC，
∴MN⊥OM，
∴MN为⊙O的切线，
又∵∠MCN=∠OCB，
∴Rt△CMN∽Rt△COB相似，
∴CM：OC=MN：OB，即（4.8+8）：8=MN：6，
∴MN=9.6（cm）．