Question

已知a为正整数a=b-2005，若关于x的方程x²-ax+b=0有正整数解，则a的最小值是多少？
（温馨提示：先设方程的两根为x₁，x₂，然后…）

Answer

先设方程的两根为x1，x2，然后利用根与系数的关系求得（x1-1）（x2-1）=2006=2×17×59；最后由条件“a为正整数、关于x的方程x2-ax+b=0有正整数解”求得x1-1=2、x2-1=17×59；
x1-1=2×17、x2-1=59；或x1-1=17，x2-1=2×59，从而推知a的最小值是93．
【解析】
设方程的两根分别为x1，x2，则
，
∵x1，x2，中有一个为正整数，则另一个也必为正整数，不妨设x1≤x2，则由上式，得
x1•x2-（x1+x2）=b-a=2005，
∴（x1-1）（x2-1）=2006=2×17×59，
∴x1-1=2、x2-1=17×59；x1-1=2×17、x2-1=59；或x1-1=17，x2-1=2×59，
∴x1+x2的最小值是2×17+59+1+1=95，即a的最小值是95．