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如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,A...

如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若点M是manfen5.com 满分网的中点,CM交AB于点N,AB=8,求MN•MC的值.

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(1)利用已知得出∠PCB+∠OCB=90°,进而求出∠PCO=90°,利用切线的判定定理求出即可; (2)首先证明△MBN∽△MCB,再利用相似的性质求出△MBN∽△MCB,进而得出MN•MC=BM2的值. 【解析】 (1)∵OA=OC, ∴∠A=∠ACO, ∴∠COB=2∠A, 又∵∠COB=2∠PCB, ∴∠A=∠ACO=∠PCB.      又∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°, ∴∠PCB+∠OCB=90°,即∠PCO=90°, 而OC是⊙O的半径, ∴PC是⊙O的切线. (2)连接MA,MB, ∵点M是的中点, ∴, ∴∠BCM=∠ABM,而∠BMN=∠BMC, ∴△MBN∽△MCB, ∴, 又∵AB是⊙O的直径,, ∴∠AMB=90°,AM=BM. ∵AB=8, ∴BM=.                                      ∴MN•MC=BM2=32.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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