Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
（1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
（2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点Q作QE⊥AB于点E，过点A作AF⊥CD于点F，可得出DF=4，再由勾股定理得出AF，从而计算出QE，根据AP=2t，CQ=t，则PE=6-3t，在Rt△PEQ中，根据勾股定理可求得t的值，再由0≤t≤3，求出点P、Q之间的距离；
（2）假设存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ，则∠APD=∠DPQ，由AB∥CD，则∠APD=∠PDQ，∠PDQ=∠DPQ，从而得出DQ=PQ，根据勾股定理可求得t，由t的取值范围再得出结论．
【解析】
（1）过点Q作QE⊥AB于点E，过点A作AF⊥CD于点F．
∵AB=CF=6，CD=10，
∴DF=4．
在Rt△ADF中，，
∴QE=AF=3，
∵AP=2t，CQ=t，
∴PE=6-3t
在Rt△PEQ中，∵PE2+EQ2=PQ2，
∴（6-3t）2+32=52，
∴或…（2分）
∵0≤t≤3，
∴舍去
∴经过秒钟，点P、Q之间的距离为5cm   …（3分）；

（2）假设存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ，则∠APD=∠DPQ．
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠PDQ，
∴∠PDQ=∠DPQ，
∴DQ=PQ      …（4分）
∵PQ2=32+（3t-6）2，DQ2=（10-t）2，
∴32+（6-3t）2=（10-t）2…（6分）
解得t1=，t2=…（7分）
∵0＜t≤3，
∴两解均舍去，
∴不存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ…（8分）．