Question

如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O为它的内切圆，切点分别是D、E、F．
（I）若AC=4，BC=3，求：△ABC的内切圆的半径；
（II）若△ABC的内切圆半径r，△ABC的周长为l，则S_△ABC的值为______
（III）若AD=x，BD=y，求S_△ABC．

Answer

（1）根据已知得出四边形OECF是正方形，根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），得出内切圆半径即可；
（2）根据△ABC的内切圆半径r，△ABC的周长为l，分隔三角形面积得出△ABC的面积即可；
（3）根据AD=x，BD=y，设内切圆半径为r，则BC=r+y，AC=r+x，斜边AB=x+y，利用勾股定理得出r，进而得出三角形面积即可．
【解析】
（1）如图；
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3；
根据勾股定理AB==5；
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（3+4-5）=1；

（2）由题意，如图，
连接OE，OD，OF；OA，OB，OC；则：OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC；
∴△ABC的面积=AB×OE+BC×OD+AC×OF
∵OE=OF=OD=r，AB+BC+AC=l，
∴△ABC的面积=AB×r+BC×r+AC×r=（AB+BC+AC）
=l．

（3）假设内切圆半径为r，则BC=r+y，AC=r+x，斜边AB=x+y，
用勾股定理：（x+r）2+（y+1）2=（x+y）2，
解得：r=，
∴r=，
∴S△ABC=×AC×BC=×（x+）（y+）
=××
=
=xy．