Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的长．

Answer

证明ABCD是等腰梯形，需证∠ADC=∠C，而∠BDC=∠E，而DB平分∠ADC，所以∠E=∠BDC=∠ADB，所以∠ADC=2∠E=∠C，从而可证明其是等腰梯形．
根据已知得到∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，所以∠DBC=90°，得到DC=2BC=10．
（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠E=∠BDC．
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠BDC．
又∵∠C=2∠E，
∴∠ADC=∠BCD．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）【解析】
由第（1）问，得∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，
∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°．
∴DC=2BC=10．（7分）