Question

如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是    ；②若半圆的直径AB=21，△ABC的内切圆半径r=4，则正方形DEFG的面积为    ．

Answer

①根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得HF=，从而用含a的代数式表示半圆的半径为 a，正方形边长为2a，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；
②连接EB、AE，OH、OI，可得OHCI是正方形，且边长是4，可设BD=x，AD=y，则BD=BH=x，AD=AI=y，分别利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程求解即可．
【解析】
①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，
H为半圆的圆心，不妨设GH=a，则GF=2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=．由此可得，半圆的半径为 a，正方形边长为2a，
所以半圆的半径与正方形边长的比是 a：2a=：2；

②连接OI、OJ，可得OICJ是正方形，且边长是4，
设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2；
∴8（x+y）+32=2xy，
在直角三角形AEB中，可以证得△ADE∽△BDE∽△ABE，
于是得到ED2=AD•BD，即102=x•y②．
∴正方形DEFG的面积为：100，
故答案为：①：2，②100．