Question

用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角尺60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕A点按逆时针方向旋转．
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论．
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
（3）在（1）的图形中证明四边形AECF的面积等于菱形ABCD的面积的一半．

Answer

（1）利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；
（2）根据已知可以得出∠BAE=∠CAF，进而求出△ABE≌△ACF即可；
（3）利用四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可．
【解析】
（1）得出结论是：BE=CF，
证明：∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即：∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
∴，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，

（2）还成立，
证明：∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
即，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，

（3）证明：∵△ABE≌△ACF，
∴S△ABE=S△ACF，
∴四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC；
而S△ABC=S菱形ABCD，
∴S=S菱形ABCD．