Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB₁∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB₁于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

Answer

（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）
【解析】
（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG与△ACB相似，则 或 ，
∴或 ，
∴t=或t=；
当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG与△ACB相似，则 或 ，
∴或 ，
解得t=或t=；
综上所述，当t=或 或 或 时，△DEG与△ACB相似．