Question

（1）如图1，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是弧的中点，在直径CD上找一点，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（2）拓展延伸：如图2，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

Answer

（1）先作B关于CD的对称点E，连接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，求出∠AOE=90°，求出△AOE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE，即可求出答案；
（2）作B关于AC的对称点，连接DE并延长，即可得出答案．
【解析】
（1）作B关于CD的对称点E，则E正好在圆周上，
连接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，
则AP+BP最短，
∵∠AOD=60°，B为弧AD中点，
∴弧AB=弧BD，且弧AB的度数是30°，
∴∠AEB=15°（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半），
∵B关于CD的对称点是E，
∴弧BE的度数是60°，
∴∠AOE=90°，
∵OA=OE（都是半径），
∴△OAE是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AE=2．

（2）如图所示：作B关于AC的对称点E，连接DE并延长交AC于P即可，