Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒 （0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式．

Answer

（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．
（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．
（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；

（2）【解析】
Rt△ABC中，AC==8，
∵△ACD∽△BAC，∴=，
即 ，
解得：DC=6.4；

（3）【解析】
过点E作AB的垂线，垂足为G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共角，
∴△ACB∽△EGB，
∴，即 ，故 ；
y=S△ABC-S△BEF
=，
=；
故当t=时，
y的最小值为19．