Question

下列命题：
①若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；
②若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④若a+b+c=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确的命题序号是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①④
D．②③④

Answer

利用根的判别式，把每一种情况里的一只等量关系代入，看b2-4ac的结果再来确定根的情况．
【解析】
①若a+b+c=0，那么b=-a-c，
∴b2-4ac=（-a-c）2-4ac=a2+c2+2ac-4ac=（a-c）2≥0，
故①正确；
②若b＞a+c，a+c若与b符号相同，那么b2-4ac＞（a+c）2-4ac=（a-c）2，
∵（a-c）2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵a+c若与b符号不相同，
则b＞a+c，可能b2＜（a+c）2，
则此时△＜0，
此时方程无实数根，
故此选项错误；
③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，
当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，
∴△＞0，
故此选项正确；
④若a+b+c=0，则b=-a-c，
∴b2-4ac=（-a-c）2-4ac=a2+c2+2ac-4ac=（a-c）2≥0，
当a=c≠0时，△=0，当a≠c≠0时，△＞0，
∴方程有实数根，
故此选项错误．
故选B．