Question

如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．
（1）在图1中，你发现线段AC、BD的数量关系是______；直线AC、BD相交成角的度数是______．
（2）将图1的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图2中画出旋转后的△OAB．
（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC、BD得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

Answer

（1）由△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，即可判断出AC=DB，直线AC、BD相交成角的度数是90°；
（3）中关键是证明△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角后，△ACO≌△BOD，即可证明两个结论仍然成立．
【解析】
（1）∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，且叠放在一起，
∴OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD，即线段AC、BD的数量关系是相等；
由图可直接看出，直线AC、BD相交成角的度数是90°．

（2）图如上所画．

（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，则AC仍旧等于BD，直线AC、BD相交成角的度数是90°
∵旋转一个锐角后，∠COA+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠COA=∠BOD，又OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB，∴AC=BD．
延长CA交OD于H，交BD于E，
∵△COA≌△DOB，∴∠OCA=∠BDO，又∠DHE=∠CHO，
∴∠CED=∠COD=90°，
将△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立．