Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，关于x的方程x²-2ax+b²=0的两根为x₁、x₂，x轴上两点M、N的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐标是（a+c，0）；P是y轴上一点，点D（a，-c²）．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，
①求sinB的值；
②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．

Answer

（1）先根据根与系数的关系及点M的坐标得出a、b、c之间的关系，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状；
（2）①由S△MNP=3S△NOP可得出MN=3ON即MO=4O，再由M点的坐标可求出N点坐标，再由a+c，是方程x2-2ax+b2=0的两根可得出a、c之间的数量关系，由勾股定理可得出ab之间的关系，再根据锐角三角函数的定义即可求出sinB的值；
②过D作DE⊥x轴于点E，由等腰直角三角形的性质可知NE=EM，DN=DM，再根据两点之间的距离公式可知DE=c，根据c＞0可得出c的值，由勾股定理可求出a、b的值，进而可得出结论．
【解析】
（1）证明：∵关于x的方程x2-2ax+b2=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=2a，①，
x1•x2=b2，②，
∵点M（a+c，0）
∴（a+c）2-2a（a+c）+b2=0（1分）
∴a2+2ac+c2-2a2-2ac+b2=0，
∴b2+c2=a2．    （1分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形且∠A=90°；          （1分）

（2）①如图所示；
∵S△MNP=3S△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON（1分）
又M（a+c，0），
∴
∴a+c，是方程x2-2ax+b2=0的两根
∴，
∴（1分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得，
∴sinB=（1分）
②能．理由如下：（1分）
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM，DN=DM，
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=MN=EM
∵M（a+c，0），D（a，-c2），
∴DE=c2，
EM=c
∴c2=c，
又c＞0，
∴c=1               （1分）
由于c=a   b=a，
∴a=，b=，（1分）
∴当a=，b=，c=1时，△MNP为等腰直角三角形．         （1分）