Question

已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+k-2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若以此方程的两个根为横坐标、纵坐标的点P恰好在双曲线上，求k的值．

Answer

（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得△=[-2（k+1）]2-4×（k2+k-2）≥0，即4k+12≥0，解不等式即可；
（2）设原方程的两个根为x1，x2，而以此方程的两个根为横坐标、纵坐标的点P恰好在双曲线上，则x1x2=1-k，且1-k≠0，再根据根与系数的关系得x1x2=k2+k-2，这样就得到关于k的方程k2+k-2=1-k，解方程，即可得到满足条件的k的值．
【解析】
（1）∵方程x2-2（k+1）x+k2+k-2=0有实数根．
∴△=[-2（k+1）]2-4×（k2+k-2）≥0，即4k+12≥0，
解得 k≥-3；
（2）设原方程的两个根为x1，x2，
根据题意得x1x2=1-k，且1-k≠0，
又由一元二次方程根与系数的关系得：x1x2=k2+k-2，
∴k2+k-2=1-k，
解得 k1=1，k2=-3，
而k≠1，
∴k=-3．