Question

已知直线y=与抛物线y=交于A、B两点，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B构成无数个三角形，这些三角形中存在一个面积最大的三角形，最大面积为（ ）

A．12
B．
C．
D．

Answer

根据直线y=与抛物线y=可以求出A、B两点的坐标，过点A作AM∥x轴，交抛物线于点M，作BC⊥AM于C交x轴于点E，作PD⊥AM点D，交x轴于点F，则S△ABP=S四边形BCDP+S△PDA-S△ABC，就可以求出其值．
【解析】
由题意，得

解得：，，
∴A（6，-3），B（-4，2）．
过点A作AM∥x轴，交抛物线于点M，作BC⊥AM于C交x轴于点E，作PD⊥AM点D，交x轴于点F．
∴C（-4，-3），
∴BC=5，AC=10，
∴S△ABC=25，
设P（a，-a2+6），
∴PD=-a2+9，AD=6-a，
∴S△PDA=，
S四边形BCDP=
∴S△ABP=+-25
=-
=-，
∴当a=1时，S△ABP的最大值为，故C答案正确．
故选C．