Question

如图，已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于    （结果保留根号）．

Answer

根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后求出其边长，过点F作FH⊥AE，过C作CM⊥AB，利用三角函数求出HF的值，即可得出三角形AFE的面积．
【解析】
作CM⊥AB于M，
∵等边△ABC的面积是，
∴设BM=x，∴tan∠BCM==，
∴BM=CM，
∴×CM×AB=×2×CM2=4，
∴CM=2，BM=2，
∴AB=4，AD=AB=2，
在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H，
则∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．
又∵AH+EH=AE=AD=2，
∴x+x=2，
解得x=3-．
∴S△AEF=×2×（3-）=3-．
故答案为：3-．