Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标（-2，0），点O为原点．
（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；
（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；
（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；
（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线经过点A，O，B，运用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式；
（2）过点A作x轴的垂线与x轴的交点是C，作CA⊥AB于A，交x轴于点C，这就是满足条件的C，利用解直接三角形就可以求出C点的坐标；
（3）由旋转的旋转，求出O′的坐标，然后代入抛物线的解析式就可以判断该点是否在抛物线上；
（4）由A、B的坐标可以求出直线AB的解析式，设出点P的坐标，就可以表示出E的坐标，利用面积之比建立等量关系根据两种不同的情况就可以求出P的解析式．
【解析】
（1）设y=ax2+bx+c，根据题意得
，
解得，
所以y=x2+x．

（2）C（1，0）或C（2，0）

（3）由题意得O′（-3，），将O′（-3，）代入y=x2+x，左边=右边
∴点O′在函数图象上．

（4）点P坐标为（-，-）．
∵A的坐标为（1，），点B的坐标（-2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则有

解得：，
∴直线AB的解析式为：y=x+
假设存在这样的点P，它的横坐标为h，则点P坐标为（h，h2+h），
点E坐标为（h，h+），分两种情况：
①△OBE的面积：四边形BPOE面积=2：3，
则[×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（-h2-h）]=2：3，
解得h=-，此时点P坐标为（-，-）；
②△AOE的面积：四边形BPOE面积=2：3，
则[-×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（-h2-h）]=2：3，
解得：h=-，或h=-2（不合题意，舍去），
此时点P坐标为（-，-）．
综上所述：点P坐标为（-，-）．