Question

如图甲，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．
（1）连接BC，CD，请你判定四边形OBCD是何种特殊的四边形？试说明理由；
（2）若用扇形OBD围成一个圆锥侧面，请出这个圆锥的底面圆的半径；
（3）如图乙，若将“∠A=30°”改为“∠A=22.5°”，其余条件不变，以半径OB、OD的中点M、N为顶点作矩形MNGH，顶点G、H在⊙O的劣弧上，GH交OC于点E．试求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明，由AC⊥BD，根据垂径定理可知：BF=FD，故只需证明OF=CF．在Rt△ABF中，已知∠A和AB，可将BF，AF的长求出；在Rt△BOF中，运用勾股定理可将半径OB及OF求出，根据CF=2OB-AF可将CF求出，根据OF=CF，BF=FD，BD⊥OC，可证四边形OBCD为菱形；
（2）已知扇形BOD的圆心角和半径，代入l弧长=进行求解，再根据底面周长：2πr=l弧长，可求出圆锥底面的半径；
（3）作辅助线，连接OH，S阴影=S扇形OBD-S△BOD-S下矩形，S扇形=lR，S△BOD=OB2，代入数据可将扇形AOB和△BOD的面积求出，由M、N是△OBD的中位线，可知MN=BD，在Rt△OEH中，根据勾股定理可求出OE，又OF=OB，可得EF=OE-OF，故：S下矩形=MN×EF，从而可将阴影部分的面积求出．
【解析】
（1）四边形OBCD是菱形．
如图丙，∵AC⊥BD，AC是直径，
∴AC垂直平分BD．
∴BF=FD，．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．
∵BF=AB=2，
在Rt△ABF中，
AF====6．
在Rt△BOF中，
∴OB2=BF2+OF2．即．
解得：OB=4．
∵OA=OB=4，
∴OF=AF-AO=6-4=2，
∵AC=2OA=8，
∴CF=AC-AF=8-6=2，
∴CF=OF，
∵BF=FD，AC⊥BD，
∴四边形OBCD是菱形；

（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr．
∵扇形OBD的弧长=π•4=π，
∴，
解得：r=；

（3）如图丁，连接OH．
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∵∠BOD=∠BOC=90°，OB=OD=4，
∴BD=OB=4，
∴OF=BD=2，
∵M、N是OB、OD的中点，
∴MN=BD=×4=2，
∵四边形MNGH是矩形，
∴MN=GH=2，EH=EG=MN=，
在Rt△HOE中，OE2=OH2-HE2，即OE2=42-（）2，
解得：OE=，
∴EF=OE-OF=-2，
∵扇形OBD的面积==××4=，
∴图中阴影部分的面积=-×4×4-（-2）×2=-8-+8
=-．