Question

已知关于x的方程x²-2mx+n²=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰和底边．
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两根x₁、x₂满足丨x₁-x₂丨=8，且等腰三角形的面积为4，求m、n的值．

Answer

先根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2m，x1x2=n2，根据判别式即可证明有不相等的实根，再利用（x1+x2）2-4x1x2=64可列方程4m2-n2=64；再根据m，n分别是一个面积为4的等腰三角形的腰与底边的长，可得到S△=n××=4，与4m2-n2=64联立方程即可解得n，m的值；
【解析】
（1）∵方程x2-2mx+n2=0，
∴△=4m2-n2，
又∵m、n分别是一个等腰三角形的腰和底边，所以2m＞n，即三角形任意两边之和大于第三边，
故：4m2＞n2，即△=4m2-n2＞0，
故方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1+x2=2m，x1x2=n2，
又∵|x1-x2|=8，
∴（x1+x2）2-4x1x2=64，即4m2-n2=64；
∵m，n分别是一个面积为4的等腰三角形的腰与底边的长，
∴S△=n××=4，
与4m2-n2=64联立方程，解得：n=2，m=；