Question

如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．
（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？
（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．

Answer

（1）由AD是小圆的切线可知OM⊥AD，再由四边形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂径定理即可得出结论；
（2）延长ON交大圆于点E，由于圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的长．
【解析】
（1）∵AD是小圆的切线，M为切点，
∴OM⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴ON⊥BC，
∴N是BC的中点；

（2）延长ON交大圆于点E，连接OB，
∵圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，
∴EN=6-5=1cm，
∴ME=6cm，
在Rt△OBN中，设OM=r，
OB2=BN2+（OM+MN）2，
即（r+6）2=52+（r+5）2，
解得r=7cm，
故小圆半径为7cm．