Question

如图，在△ABC中，AB=AC，，△ABC腰上的高等于底边的一半，以A为圆心的⊙A经过BC的中点D，且交AB、AC于M、N两点，
（1）求证：BC是⊙A的切线；
（2）求的长；
（3）求图中阴影部分的面积（保留π）．

Answer

（1）连接AD，根据题意可得出AD⊥BC，则BC是圆A的切线．      
（2）由△ABC是等腰三角形，则∠BAC=120°，由D为BC中点，则得出BD、AD，根据弧长公式得出答案；
（3）S△ABC=，S扇形MAN，则S阴影=S△ABC-S扇形MAN．
（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC
∴BC是圆A的切线．       （3分）

（2）【解析】
∵△ABC腰上的高等于底边的一半
∴∠B=∠C=30°
∴∠BAC=120°
∵，D为BC中点
∴BD=
∴AD=1
∴==（6分）

（3）【解析】
S△ABC==S扇形MAN==
∴S阴影=S△ABC-S扇形MAN=-（10分）