Question

如图，在第二象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x²（x＜0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是    ．

Answer

此题应分四种情况考虑：
①∠POQ=∠OAH=30°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；
②∠POQ=∠AOH=60°，此时∠POH=30°，即直线y=-x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH；
【解析】
①当∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=60°，
所以直线y=-x，联立抛物线的解析式，
得：
解得 或
故A（-，3）；
②当∠POQ=∠AOH=60°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH=30°，则直线y=-x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 或；
故P（-，），那么A（-，）；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，则直线y=-x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 或；
故P（-，），
∴OP=，QP=，
∴OH=OP=，AH=QP=，
故A（-，）；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线y=-x，联立抛物线的解析式，
得：
解得 或．
∴P（-，3）；
∴QP=2，OP=2，
∴OH=QP=2，AH=OP=2，
故A（-2，2）．
综上可知：符合条件的点A有四个，则符合条件的点A的坐标是（-，3）；或（-，）或（-，）或（-2，2）．
故答案为：（-，3）；或（-，）或（-，）或（-2，2）