Question

如图甲所示，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；
（1）求抛物线函数关系式；
（2）矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3，将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图乙所示）．
①当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
③现将甲图中的抛物线向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于G、F两点，与原抛物线交于点Q，设△FGQ的面积为S，求S关于m的函关系式．

Answer

（1）设出抛物线的顶点式y=a（x-2）2+4，将原点的坐标代入解析式就可以求出a的值，从而求出函数的解析式．
（2）①由（1）抛物线的解析式可以求出E点的坐标，从而可以求出ME的解析式，再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上．
②设出点N（t，-（t-2）2+4），可以表示出PN的值，根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式，从而可以求出结论．
③通过平移后可以表示出其解析式，利用其解析式就可以求出Q点的坐标，再利用三角形的面积公式就可以求出S与m的函数关系式．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+4，
∵抛物线过点m（2，4）和原点，
∴0=4a+4，
∴a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+4

（2）①∵y=-（x-2）2+4
∴当y=0时，-（x-2）2+4=0，
∴x1=0，x2=4，
∴E（4，0），
设直线ME的解析式为：y=kx+b，则
，
解得：，
∴直线ME的解析式为：y=-2x+8，
∵矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，
∴当t=时，P（，）
∴当x=时，y=3≠，
∴当时，点P不在直线ME上．

②设点N（t，-（t-2）2+4），则P（t，t），
∴PN=-t2+3t，
∵AD=2，AB=3
∴S==-t2+3t+3，
∴S=-（t2-3t+-）+3=-（t-）2+
∴当t=时，S的最大值是；

③由题意可以知道经过F、G的抛物线的解析式为：y=-（x-2-m）2+4，
∵经过O、E的抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+4，
∴，解得m=0（m＞0，故舍去），或x=，
∴，
∴S==|-|
如图：当Q点在x轴的下方的时候，同样可以得出：
S==|-|