Question

在等腰直角△ABC中，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且满足AE=4，BD=3，∠DCE=45°，则直角边AC的长度为    ．

Answer

将△AEC逆时针旋转90°得到△BFC，连接DF，由条件可以得出△DBF为直角三角形，利用勾股定理就可以求出DF，通过证明三角形全等就可以DE=DF，从而求得AB，通过等腰直角三角形的性质及勾股定理就可以求出AC的值．
【解析】
将△AEC逆时针旋转90°到△BFC，连接DF，
∴CF=CE，BF=AE，∠FBC=∠CAE．∠2=∠3
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°
∴∠ABC+∠FBC=90°，
∴DF=，
∵BD=3，BF=AE=4，
∴DF=5，
∵∠DCE=45°，
∴∠1+∠2=45°
∴∠1+∠3=45°，即∠DCF=45°，
∴∠ECD=∠DCF，
∴△CED≌△CFD，
∴ED=FD，
∴ED=5，
∴AB=AE+ED+BD=4+5+3=12．
在等腰直角三角形中，由勾股定理，得
2AC2=144，
∴AC=6．
故答案为：6．