Question

如图，直线y=x-3分别与y轴、x轴交于点A，B，抛物线y=-x²+2x+2与y轴交于点C，此抛物线的对称轴分别与BC，x轴交于点P，Q．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：AP垂直平分线段BC．

Answer

（1）根据已知条件可以求出点A、B、C的坐标，从而求出OC、OA、OB的长，再求出AC的长，由勾股定理求出AB的长，从而可以得出结论．
（2）根据抛物线的解析式求出对称轴，从而求出Q点的坐标，求出OQ、BQ的值，利用直线平行证明三角形相似从而求出P是BC的中点，根据等腰三角形的性质可以得出结论．
证明：（1）∵y=x-3，
∴x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），
当y=0时，x=4，
∴B（4，0），
∵y=-x2+2x+2，
∴x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
∴OA=3，OB=4，OC=2．
∴AC=OA+OC=5．
AB===5．
∴AB=AC．

（2）∵抛物线y=-x2+2x+2，
∴y=-（x2-4x+4-4）+2
=-（x-2）2+4
∴对称轴是直线x=2，
∴点Q的坐标为（2，0）．
∴OQ=BQ=2．
∵PQ∥y轴，
∴△BPQ∽△BCO．
∴===．
∴BP=PC，
∵AB=AC，∴AP⊥BC．
∴AP垂直平分线段BC．