Question

如图，已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把线段AB沿射线BC方向平移至PQ，直线PQ与直线AC交于点E，又连接BQ与直线AC交于点D．
（1）若BP=3，求AD的长；
（2）设BP=x，DE=y，试求y关于x的函数解析式；
（3）当BP为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer

（1）连接AQ，由平行四边形的判定定理可得出四边形ABPQ是平行四边形，进而可得出△ADQ∽△CDB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点P在边BC上或点P在边BC的延长线上两种情况讨论即可；
（3）先由相似三角形的判定定理得出△EDQ∽△ADB，△ADB∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可求出BP的长．
【解析】
（1）连接AQ
∵AB∥PQ  AB=PQ
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ∥BP  AQ=BP
∴△ADQ∽△CDB，
∵BP=3
∴AQ=3
∵，
∴，
∴；

（2）∵AB∥PQ，AQ∥BC，
∴，
∵AB=4，BC=5，AC=6，BP=x，DE=y，
当点P在边BC上时，
∴，解得…（1分）
，解得…（1分）
∴…（1分）
当点P在边BC的延长线上时，
∴，解得…（1分）
，解得…（1分）
∴
综上所述，（x＞0）…（1分）

（3）∵AB∥PQ，∴△EDQ∽△ADB  …（1分）
又以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
∴△ADB与△ABC相似  …（1分）
∵∠BAC公共，又∠ABD≠∠ABC
∴∠ABD=∠ACB     …（1分）
∴即
由（2）知，
∴得x=4
所以，当BP为4时，以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．…（2分）