如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x2+bx+c过点A（4，0）、B（...

如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；将所求得的二次函数解析式化为顶点式，即可得到其对称轴方程及顶点坐标；（2）首先根据抛物线的对称轴方程求出E点的坐标，进而可得到F点的坐标，由此可求出PF的长，即可判断出四边形OAPF的形状，然后根据其面积求出n的值，再代入抛物线的解析式中即可求出m的值．【解析】（1）将A（4，0）、B（1，3）两点坐标代入抛物线的方程得：，解之得：b=4，c=0；所以抛物线的表达式为：y=-x2+4x，将抛物线的表达式配方得：y=-x2+4x=-（x-2）2+4，所以对称轴直线为直线x=2，顶点坐标为（2，4）；（2）点P（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐标为（m-4，n），则FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，所以四边形OAPF是平行四边形； S=OA•|n|=20，即|n|=5；因为点P为第四象限的点，所以n＜0，所以n=-5；代入抛物线方程得m=-1（舍去）或m=5，故m=5，n=-5．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等